问题 解答题
已知数列{an}的通项公式为an=
8n
(4n2-1)2
,Sn为其前n项的和,计算S1,S2,S3的值,根据计算结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.
答案

S1=a1=

8
9
,S2=a1+a2=
24
25
,S3的=S2 +a3=
48
49

猜测 Sn =

(2n+1)2-1
(2n+1)2

证明:①当n=1时,由以上可知,猜测成立.

②假设n=k时,猜测成立,即 SK=

(2k+1)2-1
(2k+1)2

则n=k+1时,SK+1=SK+ak+1=

(2k+1)2-1
(2k+1)2
+
8(k+1)
[4(k+1)2-1]2
 

=

(2k+1)2-1
(2k+1)2
+
8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2
=
[(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1)
(2k+1)2(2k+3)2
 

=

(2k+3)2-1
(2k+1)2(2k+3)2
=
[2(k+1)+1 ]2-1
(2k+1)2(2k+3)2

故当n=k+1时,猜测仍然成立.

综合①②可得,猜测对任意的正整数都成立.

解答题
判断题