问题
解答题
已知数列{an}的通项公式为an=
|
答案
S1=a1=
,S2=a1+a2=8 9
,S3的=S2 +a3=24 25
.48 49
猜测 Sn =
.(2n+1)2-1 (2n+1)2
证明:①当n=1时,由以上可知,猜测成立.
②假设n=k时,猜测成立,即 SK=
.(2k+1)2-1 (2k+1)2
则n=k+1时,SK+1=SK+ak+1=
+(2k+1)2-1 (2k+1)2 8(k+1) [4(k+1)2-1]2
=
+(2k+1)2-1 (2k+1)2
=8(k+1) (2k+1)2(2k+3)2 [(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1) (2k+1)2(2k+3)2
=
=(2k+3)2-1 (2k+1)2(2k+3)2
.[2(k+1)+1 ]2-1 (2k+1)2(2k+3)2
故当n=k+1时,猜测仍然成立.
综合①②可得,猜测对任意的正整数都成立.