问题
解答题
已知数列{an}的通项公式为an=
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答案
S1=a1=
，S2=a1+a2=8 9
，S3的=S2 +a3=24 25
．48 49
猜测 Sn =
．(2n+1)2-1 (2n+1)2
证明：①当n=1时，由以上可知，猜测成立．
②假设n=k时，猜测成立，即 SK=
．(2k+1)2-1 (2k+1)2
则n=k+1时，SK+1=SK+ak+1=
+(2k+1)2-1 (2k+1)2 8(k+1) [4(k+1)2-1]2
=
+(2k+1)2-1 (2k+1)2
=8(k+1) (2k+1)2(2k+3)2 [(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1) (2k+1)2(2k+3)2
=
=(2k+3)2-1 (2k+1)2(2k+3)2
．[2(k+1)+1 ]2-1 (2k+1)2(2k+3)2
故当n=k+1时，猜测仍然成立．
综合①②可得，猜测对任意的正整数都成立．