已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*都有Sn=2an-n，（1

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-n，

（1）求数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃，

（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明．

答案

（1）令n=1，S₁=2a₁-1．∴a₁=1

又S_n+1=2a_n+1-（n+1），S_n=2a_n-n，

两式相减得，a_n+1=2a_n+1-2a_n-1，∴a_n+1=2a_n+1

∴a₂=3，a₃=7

（2）猜想a_n=2ⁿ-1

证明如下：①由（1）知，n=1时，结论成立；

②设n=k时，结论成立，即ak=2k-1

则n=k+1时，ak+1=2ak+1=2(2k-1)+1=2^k+1-1

即n=k+1时，结论成立

由①②可知，猜想成立．