问题
解答题
已知数列{an}满足：a1=2a-2，an+1=aan-1+1 (n∈N*)．
（1）若a=-1，求数列{an}的通项公式；
（2）若a=3，试证明：对∀n∈N*，an是4的倍数．
答案
（1）a=-1时，a1=-4，an+1=aan-1+1
令bn=an-1，则b1=-5，bn+1=(-1)bn
∵b1=-5为奇数，bn也是奇数且只能为-1
∴bn=
，即an=-5，n=1 -1，n≥2
；-4，n=1 0，n≥2
（2）证明：a=3时，a1=-4，an+1=3an-1+1
①n=1时，a1=4，命题成立；
②设n=k时，命题成立，则存在t∈N*，使得ak=4t
∴ak+1=3ak-1+1=34t-1+1=27•（4-1）4（t-1）+1
∵（4-1）4（t-1）=44(t-1)-
•44t-5+…+C 14(t-1)
•4+1=4m+1，m∈ZC 4t-34(t-1)
∴ak+1=3ak-1+1=27•（4m+1）+1=4（27m+7）
∴n=k+1时，命题成立
由①②可知，对∀n∈N*，an是4的倍数．