假设存在常数a，b使等式1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=an（n+b）（n+2）对于任意的n∈N₊总成立，

令n=1与n=2得：

1=a(1+b)×3 1×2+2×1=2a(2+b)×4

解得：

a= 1 6 b=1

，

即1-n+2-（n-1）+3-（n-2）+…+n-1=

1

6

n（n+1）（n+2）．

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，左边=1×1=1，右边=

1

6

×1×1×（1+1）×（1+2）=1，因此左边=右边，

∴当n=1时等式成立，

（2）假设当n=k时成立，

即1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1=

1

6

k（k+1）（k+2），

那么当 n=k+1时，

1×（k+1）+2×[（k+1）-1]+3×[（k+1）-2）]+…+（k+1）×1

=[1×k+2×（k-1）+3×（k-2）+…+k×1]+[1+2+3+…+（k+1）]

=

1

6

k（k+1）（k+2）+

(1+k+1)•(k+1)

2

=

1

6

（k+1）（k+2）（k+3）

=

1

6

（k+1）[（k+1）+1][（k+1）+2]

所以，当 n=k+1时等式也成立．

根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N₊都成立．