（1）∵点（n，

Sn

n

）都在函数f（x）=x+

an

2x

的图象上，故

Sn

n

=n+

an

2n

．

∴S_n=n²+

1

2

a_n，令n=1得a₁=1+

1

2

a₁，∴a₁=2

令n=2得a₁+a₂=4+

1

2

a₂，∴a₂=4

令n=3得a₁+a₂+a₃=9+

1

2

a₃，∴a₃=6

由此猜想：a_n=2n（n∈N*），（2分）

下面用数字归纳法证明：

①当n=1时，由上面的求解知，猜想成立．（3分）

②假设n=k时猜想成立，即a_k=2k成立，

那么，当n=k+1时，由条件知，S_k=k²+

1

2

a_k，S_k+1=（k+1）²+

1

2

a_k+1，

两式相减，得a_k+1=2k+1+

1

2

a_k+1-

1

2

a_k，

∴a_k+1=4k+2-a_k=4k+2-2k=2（k+1）

即当n=k+1时，猜想成立．

根据①、②知，对一切n∈N*，a_n=2n成立．（6分）

（2）∵

an-1

an

=1-

1

an

，故A_n=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

），

∴A_n

an+1

=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

）

2n+1

又f（a）-

an+3

2a

=a+

an

2a

-

an+3

2a

=a-

3

2a

故A_n

an+1

＜f（a）-

an+3

2a

对一切n∈N*都成立，就是

（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

）•

2n+1

＜a-

3

2a

对一切n∈N*都成立．（8分）

设g（n）=（1-

1

a1

）（1-

1

a2

）（1-

1

an

）

2n+1

，则只需g（n）_max＜a-

3

2a

即可．（9分）

由于

g(n+1)

g(n)

=（1-

1

an+1

）•

2n+3

2n+1

=

2n+1

2n+2

•

2n+3

2n+1

=

4n2+8n+3

4n2+8n+4

＜1

∴g（n+1）＜g（n），故g（n）是单调递减，

于是g（n）_max=g（1）=

3

2

，（12分）

由

3

2

＜a-

3

2a

得

(a- 3 )(2a+ 3 )

a

＞0解得-

3

2

＜a＜0或a＞

3

．

综上所述，使得所给不等式对一切n∈N*都成立的实数a存在，且a的取值范围为（-

3

2

，0）∪（

3

，+∞）．（14分）