结论：（a₁+a₂+…+a_n）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）≥n²…（3分）

证明：①当n=1时，显然成立；…（5分）

②假设当n=k时，不等式成立，

即：（a₁+a₂+…+a_k）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

）≥k²…（7分）

那么，当n=k+1时，

（a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

+

1

ak+1

）

=（a₁+a₂+…+a_k）（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

）+a_k+1（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

ak

）+

1

ak+1

（a₁+a₂+…+a_k）+1

≥k²+（

ak+1

a1

+

a1

ak+1

）+（

ak+1

a2

+

a2

ak+1

）+…+（

ak+1

ak

+

ak

ak+1

）+1

≥k²+2k+1

=（k+1）²

即n=k+1时，不等式也成立．…（14分）

由①②知，不等式对任意正整数n成立．…（15分）