问题
解答题
已知数列{an}满足a1=2，且anan+1+an+1-2an=0（n∈N+）．
（1）求a2、a3、a4的值；
（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
答案
（1）由题得an+1=
，又a1=2，则a2=2an an+1
=2a1 a1+1
，a3=4 3
=2a2 a2+1
，8 7
a4=
=2a3 a3+1
…16 15
（2）猜想an=
． 2n 2n-1
证明：①当n=1时，
=2=a1，故命题成立．21 21-1
②假设当n=k时命题成立，即ak=2k 2k-1
则当n=k+1时，ak+1=
=2ak ak+1
=2• 2k 2k-1
+12k 2k-1
=2k+1 2k+2k-1
，2k+1 2k+1-1
故命题也成立．
综上，对一切n∈N+都有an=
成立．2n 2n-1