1⁰、当n=2时，等式左边=2+f（1）=2+1=3

等式右边=2f(2)=2(1+

1

2

)=3，∴原式成立；…（4分）

2⁰、假设n=k（k≥2）成立，即k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）…（6分）

∵f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，∴f(n+1)=f(n)+

1

n+1

（这步可置于后）…（8分）

则当n=k+1时，

等式左边=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）

=k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=kf（k）+f（k）+1…（10分）

=(k+1)f(k)+1=(k+1)[f(k)+

1

k+1

]=(k+1)f(k+1)

即当n=k+1时，等式也成立．…（12分）

综上1⁰，2⁰可得当n≥2，n∈N^*时，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）均成立

…（14分）