问题
解答题
| 某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质： ①输入1时，输出结果是
②输入整数n（n≥2）时，输出结果f（n）是将前一结果f（n-1）先乘以3n-5，再除以3n+1． （1）求f（2），f（3），f（4）； （2）试由（1）推测f（n）（其中n∈N*）的表达式，并给出证明． |
答案
（1）由题设条件知f（1）=
，f（n）=1 4
f（n-1），3n-5 3n+1
∴f(2)=
×1 7
=1 4
；f(3)=1 28
×1 28
=4 10
；f(4)=1 70
×1 70
=7 13
．…（3分）1 130
（2）猜想：f（n）=
（其中n∈N*）…（5分）1 (3n-2)(3n+1)
以下用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，f(1)=
，1 4
=1 (3×1-2)(3×1+1)
，1 4
所以此时猜想成立． …（6分）
（2）假设n=k（k∈N*）时，f(k)=
成立1 (3k-2)(3k+1)
那么n=k+1时，
…（9分）f(k+1)=
f(k)=3(k+1)-5 3(k+1)+1
•3(k+1)-5 3(k+1)+1 1 (3k-2)(3k+1) =
•1 3(k+1)+1
=1 (3k+1) 1 [3(k+1)-2][3(k+1)+1]
所以n=k+1时，猜想成立．
由（1）（2）知，猜想：f（n）=
（其中n∈N*）成立．1 (3n-2)(3n+1)
…（12分）