（1）由a_n+1=2（

n+1

n

）²a_n得：

a2=2(

1+1

1

)  2a1⇒a2=2(

2

1

) 2a1

a3=2(

2+1

2

) 2a2⇒a3=2(

3

2

) 2a2

…

an=2(

n-1+1

n-1

) 2an-1⇒an=2(

n

n-1

) 2an-1

将这n-1个式子相乘，得a_n=2^n-1n²a₁=2ⁿ•n²，

（2）∵b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ

∴b_n+1=（A（n+1）²+B（n+1）+C）•2ⁿ⁺¹

∴b_n+1-b_n=（A（n+1）²+B（n+1）+C）•2ⁿ⁺¹-（An²+Bn+C）•2ⁿ

=（An²+（4A+B）n+2A+2B+C）•2ⁿ

若a_n=b_n+1-b_n成立，则2ⁿ•n²=（An²+（4A+B）n+2A+2B+C）•2ⁿ对一切正整数n都成立

∴An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²

∴

A=1 4A+2B=0 2A+2B+C=0

⇒A=1，B=-4，C=6；

（3）用数学归纳法进行证明：

当n=1时，a₁=2≤（1²-2×1+2）•2¹：=2，式子成立

当n≥2时，设n=k时不等式成立，

即a₁+a₂+…+a_k≤（k²-2k+2）•2^k成立，则

a₁+a₂+…+a_k+a_k+1≤（k²-2k+2）•2^k+2^k+1•（k+1）²

而（k²-2k+2）•2^k+2^k+1•（k+1）²=2^k+1[（

1

2

k²-k+1）+（k²+2k+1）]

=2^k+1（

3

2

k²+k+2）

并且2^k+1（

3

2

k²+k+2）≤（（k+1）²-2（k+1）+2）•2^k+1，

∴a₁+a₂+…+a_k+a_k+1）≤（（k+1）²-2（k+1）+2）•2^k+1

即n=k+1时不等式成立，

综上所述，可得对任意 n∈N^*，a₁+a₂+…+a_n≤（n²-2n+2）•2ⁿ 总成立