问题
解答题
已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（
（1）求数列{an}的通项公式 （2）设bn=（An2+Bn+C）•2n，是否存在常数A、B、C，使对一切n∈N*，均有an=bn+1-bn成立？若存在，求出常数A、B、C的值，若不存在，说明理由 （3）求证：a1+a2+…+an≤（n2-2n+2）•2n，（ n∈N*） |
答案
（1）由an+1=2（
）2an得：n+1 n
a2=2(
) 2a1⇒a2=2(1+1 1
) 2a12 1
a3=2(
) 2a2⇒a3=2(2+1 2
) 2a23 2
…
an=2(
) 2an-1⇒an=2(n-1+1 n-1
) 2an-1n n-1
将这n-1个式子相乘，得an=2n-1n2a1=2n•n2，
（2）∵bn=（An2+Bn+C）•2n
∴bn+1=（A（n+1）2+B（n+1）+C）•2n+1
∴bn+1-bn=（A（n+1）2+B（n+1）+C）•2n+1-（An2+Bn+C）•2n
=（An2+（4A+B）n+2A+2B+C）•2n
若an=bn+1-bn成立，则2n•n2=（An2+（4A+B）n+2A+2B+C）•2n对一切正整数n都成立
∴An2+（4A+B）n+2A+2B+C=n2
∴
⇒A=1，B=-4，C=6；A=1 4A+2B=0 2A+2B+C=0
（3）用数学归纳法进行证明：
当n=1时，a1=2≤（12-2×1+2）•21：=2，式子成立
当n≥2时，设n=k时不等式成立，
即a1+a2+…+ak≤（k2-2k+2）•2k成立，则
a1+a2+…+ak+ak+1≤（k2-2k+2）•2k+2k+1•（k+1）2
而（k2-2k+2）•2k+2k+1•（k+1）2=2k+1[（
k2-k+1）+（k2+2k+1）]1 2
=2k+1（
k2+k+2）3 2
并且2k+1（
k2+k+2）≤（（k+1）2-2（k+1）+2）•2k+1，3 2
∴a1+a2+…+ak+ak+1）≤（（k+1）2-2（k+1）+2）•2k+1
即n=k+1时不等式成立，
综上所述，可得对任意 n∈N*，a1+a2+…+an≤（n2-2n+2）•2n 总成立