问题
解答题
数列{2n-1}的前n项组成集合An={1，3，7，…，2n-1}(n∈N*)，从集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn=T1+T2+…+Tn．例如：当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．
（Ⅰ）求S3；
（Ⅱ）猜想Sn，并用数学归纳法证明．
答案
（Ⅰ）当n=3时，A3={1，3，7}，
T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，
所以S3=11+31+21=63．
（Ⅱ）由S1=1=21-1=-1，S2=7=23-1=-1，S3=63=26-1=-1，
猜想 Sn=2
-1，下面证明：（1）易知n=1时成立．n(n+1) 2
（2）假设n=k时，Sn=Sk=2
-1，k(k+1) 2
则n=k+1时，Sk+1=T1+T2+T3+…+Tk+1
=[T1′+（2k+1-1）]+[T2′+（2k+1-1）T1′]+[T3′+（2k+1-1）T2′]+…+[Tk′+（2k+1-1）]
（其中Ti′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为Tk），
=（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）+（2k+1-1）+（2k+1-1）（ T1′+T2′+T3′+…+Tk′）
=Sk+（2k+1-1）+（2k+1-1）Sk =2k+1（2
）+（2k+1-1）k(k+1) 2
=2k+1•2
=2k(k+1) 2
-1，即n=k时，(k+1)(k+2) 2
Sk+1=2
-1也成立，(k+1)(k+2) 2
综合（1）（2）知对n∈N*，Sn=2
-1成立．n(n+1) 2
所以，Sn=2
-1．n(n+1) 2