（I）由题设知

an+1=tbn+1+1 an=2bn+1

，得an+1=

t

2

an+1．

又已知t≠2，可得an+1+

2

t-2

=

t

2

(an+

2

t-2

)．

由t≠0，t≠2，f（b）≠g（b），可知a1+

2

t-2

=tb+

t

t-2

≠0，

t

2

≠0，

所以{an+

2

t-2

}是等比数列，其首项为tb+

2

t-2

，公比为

t

2

．

于是an+

2

t-2

=(tb+

2

t-2

)(

t

2

)n-1，即an=(tb+

2

t-2

)(

t

2

)n-1-

2

t-2

．

又

lim

n→∞

an存在，可得0＜|

t

2

|＜1，所以-2＜t＜2且t≠0.

lim

n→∞

an=

2

2-t

．

（II）证明：因为g（x）=f^-1（x），

所以a_n=g（b_n+1）=f^-1（b_n+1），即b_n+1=f（a_n）．

下面用数学归纳法证明a_n+1＜a_n（n∈N^*）．

（1）当n=1（2）时，由f（x）（3）为增函数，且f（1）＜1（4），

得a₁=f（b₁）=f（1）＜1（5），b₂=f（a₁）＜f（1）＜1（6），a₂=f（b₂）＜f（1）=a₁（7），

即a₂＜a₁，结论成立．

（8）假设n=k（9）时结论成立，即a_k+1＜a_k（10）．由f（x）（11）为增函数，得f（a_k+1）＜f（a_k）（12），即b_k+2＜b_k+1（13），进而得f（b_k+2）＜f（b_k+1）（14），即a_k+2＜a_k+1（15），这就是说当n=k+1（16）时，结论也成立．根据（1）和（2）可知，对任意的n∈N^*（17），a_n+1＜a_n（18）．