问题
解答题
已知数列{an}满足：a1=0，an+1=
（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． |
答案
（Ⅰ） 由a1=0，an+1=
，1+an 3-an
当n=1时，a2=
，1 3
当n=2时，a3=
=1+ 1 3 3- 1 3
，1 2
当n=3时，a3=
=1+ 1 2 3- 1 2
，3 5
（Ⅱ）由以上结果猜测：an=
（6分）n-1 n+1
用数学归纳法证明如下：
（1）当n=1时，左边=a1=0，右边═0，等式成立．（8分）
（2）假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=
成立．k-1 k+1
那么，当n=k+1时，ak+1=
=1+ak 3-ak
=1+ k-1 k+1 3- k-1 k+1
=k+1+k-1 3k+3-k+1
=2k 2k+4
=k k+2 (k+1)-1 (k+1)+1
这就是说，当n=k+1时等式成立．
由（1）和（2），可知猜测an=对于任意正整数n都成立．