（I）设数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，

在S_2n-1=

1

2

an2中，令n=1，2，得

a12=2S1 a22=2S3

即

a12=2a1 (a1+d)2=2(3a1+3d)

…2分

解得a₁=2，d=4，d=-2（舍去），

∴a_n=4n-2…4分

∴b_n=

2n-1，n为奇数 2n-3，n为偶数

…5分

（Ⅱ）T_2n=1+2×2-3+2²+2×4-3+2⁴+…+2^2n-2+2×2n-3…9分

=1+2²+2⁴+…+2^2n-2+4（1+2+…+n）-3n

=

1-4n

1-4

+4•

n(n+1)

2

-3n

=

4n

3

-

1

3

+2n²-n…8分

∴T_2n-（2n²+

n

3

）=

1

3

（4ⁿ-4n-1），

当n=1时，

1

3

（4ⁿ-4n-1）=-

1

3

＜0；

当n=2时，

1

3

（4ⁿ-4n-1）=

7

3

＞0；

当n=3时，

1

3

（4ⁿ-4n-1）=

51

3

＞0；

…

猜想当n≥2时，T_2n＞2n²+

n

3

，即n≥2时，4ⁿ＞4n+1．

下面用数学归纳法证明：

①当n=2时，4²=16，4×2+1=9，16＞9，成立；

②假设当n=k（k≥2）时成立，即4^k＞4k+1．

则当n=k+1时，4^k+1=4•4^k＞4（4k+1）=16k+4＞4k+5=4（k+1）+1，

∴n=k+1时成立．

由①②得，当n≥2时，4ⁿ＞4n+1成立…11分

综上，当n=1时，T_2n＜2n²+

n

3

，

当n≥2时，T_2n＞2n²+

n

3

…12分