问题
解答题
是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9对任意自然数n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
答案
由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，
f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，
即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除；
当n=k+1时，[2（k+1）+7]•3k+1+9=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k-1-1），
由于3k-1-1是2的倍数，故18（3k-1-1）能被36整除．
这就是说，当n=k+1时，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值为36．