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问题 解答题
已知数列ξ中，a1=0，an+1=
1
2-an
（n∈N*）．
（1）计算a2，a3，a4；
（2）猜想数列{an}的通项公式并用数学归纳法证明．
答案

（1）a2=

1
2
，a3=
1
2-a2
=
2
3
，同理可得a4=
3
4
…（3分）

（2）猜想an=

n-1
n
（n=1，2，3，…）…（6分）

证明：①当n=1时，结论显然成立…（8分）

②假设n=k时，结论成立，即ak=

k-1
k
，

那么当n=k+1时，ak+1=

1
2-ak
=
1
2-
k-1
k
=
k
k+1
=
(k+1)-1
k+1
，

即当n=k+1时，等式成立．

由①②知，an=

n-1
n
对一切自然数n都成立．…（13分）

综合题

阅读下列材料，回答问题。（16分）

材料一   真正属于“家天下”的事例，主要有两项：一为“皇位世袭制”；二为“皇族特权制”。

皇位世袭制史称“皇统”。按照宗法制度的规定，行嫡长子继承制。如西汉有司请于文帝曰：“……子启最长，敦厚慈仁，请建以为太子。”文帝许之。启为太子，后即位为景帝。

“皇族特权制”……秦朝建立，李斯主张“诸子、功臣以公赋税重赏赐之……置诸侯不便。”刘邦……大封其子弟为九国，占去国土的大半。东汉史学家班固曰：“藩国大者跨州兼郡，连城数十，宫室百官同制京师，可谓矫枉过其正矣。”诸侯都处于半独立状态，君国子民，拥有军、政大权。

材料二   说此制（三公九卿制）中有“公天下”的因素，有如下几方面：

（1）官僚制度——自秦朝以来，中央官吏不再行世卿世禄制度，而代之以官僚制度……

（2）皇权的制衡制度……主要制衡方式有三种：一为太傅制度；二为廷议；三为法律……廷议也叫做朝议、朝会和大议等，是皇帝与大臣们在朝堂上定期集会议事的一种形式。所议有政治、经济、民族、文化、救灾、战争等等，参加廷议的官吏有文有武，职位自丞相、太尉、御史大夫、诸侯王、众卿、 * * ，下至大夫、博士、令长等……

（3）诸卿的设置和执掌……

材料三   秦汉至明清时期的地方行政管理制度是郡县制，大小官吏都是来自地主阶级和庶人，这与西周时期的宗法贵族世袭分封制度有根本的不同……柳宗元对于这一变化（郡县制代替分封制）十分看重，给予了极高的评价。他在《封建论》一文中说：两汉“有叛国而无叛郡”，唐朝“有叛将而无叛州”，证明了郡县制是一种好的制度。

——以上材料均摘自张传玺《中国古代国家的历史特征》

（1）根据材料一，请你对“皇位世袭制”和“皇族特权制”作简明扼要的定义。（6分）

（2）根据材料二和所学知识，分析自秦汉开始的选官制度是如何体现“公天下的”。（6分）

（3）你认为应该如何客观地评价材料二中提到的“朝议”制度？（4分）
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