问题
解答题
已知正项数列{an}中，Sn是其前n项的和，且2Sn=an+
（Ⅰ）计算出a1，a2，a3，然后猜想数列{an}的通项公式； （Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想． |
答案
（I）由于2Sn=an+
⇔Sn=1 an
(an+1 2
)1 an
当n=1时，a1=
(a1+1 2
)，可得a1=1，1 a1
当n=2时，a1+a2=
(a2+1 2
)，可得a2=1 a2
-1（an＞0），2
当n=3时，a1+a2+a3=
(a3+1 2
)，可得a3=1 a3
-3
（an＞0），2
猜想：an=
-n
（n∈N+）n-1
（II）证明：（1）当n=1时，已证．
（2）假设n=k（k≥1）时，ak=
-k
成立，则当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=k-1
(ak+1+1 2
)-1 ak+1
(ak+1 2
)，1 ak
即ak+1-
=-(ak+1 ak+1
)=-(1 ak
-k
+k-1
)=-21
-k k-1
，k
∴ak+1=
-k+1
．k
由（1）（2）可知对n∈N+，an=
-n
成立．n-1