假设存在a、b、c使题设的等式成立，

这时令n=1，2，3，有

4= 1 6 (a+b+c) 22= 1 2 (4a+2b+c) 70=9a+3b+c

解得：

a=3 b=11 c=10

．

于是，对n=1，2，3下面等式成立

1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)

12

(3n2+11n+10)

记S_n=1•2²+2•3²+…+n（n+1）²

证明：①由前面可知，当n=1时，等式成立，

②设n=k时上式成立，即S_k=

k(k+1)

12

（3k²+11k+10）

那么S_k+1=S_k+（k+1）（k+2）²=

k(k+1)

12

（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）²

=

(k+1)(k+2)

12

（3k²+5k+12k+24）

=

(k+1)(k+2)

12

[3（k+1）²+11（k+1）+10]

也就是说，等式对n=k+1也成立．

综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设对一切自然数n均成立．