问题
解答题
已知数列{an}满足a1=1，且5an+1-2anan+1+3an=8（m∈N*）．
（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
答案
（Ⅰ）∵a1=1，5an+1-2anan+1+3an=8，
∴5a2-2a1a2+3a1=8，
∴3a2=5，
∴a2=
．5 3
同理可得，a3=
，a4=9 5
；13 7
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想，an=
，（n∈N*）4n-3 2n-1
（Ⅱ）证明：当n=1时，a1=1，等式成立；
假设n=k时，ak=
，4k-3 2k-1
则n=k+1时，由5ak+1-2akak+1+3ak=8得：
ak+1=
=8-3ak 5-2ak
=8-3× 4k-3 2k-1 5-2× 4k-3 2k-1
=8(2k-1)-12k+9 5(2k-1)-8k+6
=4k+1 2k+1
，4(k+1)-3 2(k+1)-1
即n=k+1时，等式也成立；
综上所述，对任意n∈N*，an=
．4n-3 2n-1