问题
解答题
已知f(n)=
（Ⅰ）求f（1），f（2），f（3），f（4）归纳并猜想f（n） （Ⅱ）用数学归纳证明你的猜想． |
答案
（I）分别计算f（1）=
，1 2
f（2）=
+1 1×2
=1-1 2×3
=1 3
，2 3
f（3）=1-
=1 4
，3 4
f（4）=1-
=1 5
，4 5
归纳并猜想f（n）=
（n∈N*）；n n+1
（II）证明：①当n=1 时，由上面计算知结论正确．
②假设n=k时等式成立，即f（k）=
，k k+1
则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+
=1 (k+1)(k+2)
+k k+1
=1 (k+1)(k+2)
，k+1 k+2
即n=k+1时等式成立．
由①②知，等式对任意正整数都成立．