由于所给的等式的左边，是两两自然数的积再求和的形式，右边是一个分式，分母是6，分子是三个自然数的积，注意自然数与序号之间的关系，所以，猜想：1×3+2×4+3×5+…+n（n+2）=

n(n+1)(2n+7)

6

---------（4分）

证明：（1）当n=1时，左边=3，右边=3，等式成立．

（2）假设当n=k时，等式成立，即1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）=

k(k+1)(2k+7)

6

------------（6分）

那么，当n=k+1时，1×3+2×4+3×5+…+k（k+2）+（k+1）（k+3）

=

k(k+1)(2k+7)

6

+（k+1）（k+3）

=

k+1

6

（2k²+7k+6k+18）=

k+1

6

（2k²+13k+18）=

(k+1)(k+2)(2k+9)

6

，

就是说，当 n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）

综上所述，对任何n∈N₊都成立．----------------------（14分）