问题
解答题
已知数列{an}满足an+1=
（Ⅰ）计算a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列的通项an，并利用数学归纳法证明． |
答案
（Ⅰ）由递推公式，得a2=
=a1-2 2a1-3
=
-21 2 2•
-31 2
，（3分）3 4
（Ⅱ）猜想：an=
．（5分）2n-1 2n
证明：①n=1时，由已知，等式成立．（6分）
②设n=k（k∈N*）时，等式成立．即ak=
．（7分）2k-1 2k
所以ak+1=
=ak-2 2ak-3
=
-22k-1 2k 2•
-32k-1 2k
=2k-1-4k 4k-2-6k
=2k+1 2k+2
，2(k+1)-1 2(k+1)
所以n=k+1时，等式成立．（9分）
根据①②可知，对任意n∈N*，等式成立．即通项an=
．2n-1 2n