问题
解答题
| 已知y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy． （1）求f（0）的值； （2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）表达式并用数学归纳法证明； （3）若f(1)≥1，求证：f(
|
答案
（1）令x=y=0，则f（0）=0；
（2）f（2）=4，f（3）=9，f（4）=16，猜想f（n）=n2，
①当n=1时，显然成立；
②设n=k时成立，即f（k）=k2，则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=（k+1）2即=k+1时，成立
综上知f（n）=n2，成立
（3）设f(1)=a(a≥1)，由f(1)=f(
+1 2
)=2f(1 2
)+2×1 2
×1 2
，得f(1 2
)=1 2
-a 2 1 4
令x=y=(
)n+1，则f(1 2
)=f(1 2n
+1 2n+1
)=2f(1 2n+1
)+2•1 2n 1 22n+2
变形为：f(
)-1 2n
=2[f(1 4n
-1 2n+1
]，因此数列{f(1 4n+1
)-1 2n
}是等比数列，1 4n
首项为f(
)-1 21
=1 4
，公比为2，∴f(a-1 2
)-1 2n
=(1 4n
)•(a-1 2
)n-11 2
∴f(
)=(1 2n
)•(a-1 2
)n-1+1 2
≥1 4n
＞01 4n