问题
解答题
已知数列{an}：a1=1，a2=2，a3=r，an+3=an+2（n是正整数），与数列{bn}：b1=1，b2=0，b3=-1，b4=0，bn+4=bn（n是正整数）．
记Tn=b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan．
（1）若a1+a2+a3+…+a12=64，求r的值；
（2）求证：当n是正整数时，T12n=-4n．
答案
（1）a1+a2+a3+…+a12
=1+2+r+3+4+（r+2）+5+6+（r+4）+7+8+（r+6）
=48+4r．
∵48+4r=64，
∴r=4．
证明：（2）用数学归纳法证明：
当n∈Z+时，T12n=-4n．
①当n=1时，T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4，
等式成立
②假设n=k时等式成立，即T12k=-4k，
那么当n=k+1时，
T12（k+1）=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11
=-4k+（8k+1）-（8k+r）+（8k+4）-（8k+5）+（8k+r+4）-（8k+8）
=-4k-4=-4（k+1），
等式也成立．
根据①和②可以断定：当n∈Z+时，T12n=-4n．