问题
解答题
已知y=f（x）满足f（n-1）=f（n）-lgan-1（n≥2，n∈N）且f（1）=-lga，是否存在实数α、β使f（n）=（αn2+βn-1）lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论．
答案
∵f（n）=f（n-1）+lgan-1，令n=2，
则f（2）=f（1）+f（a）=-lga+lga=0．
又f（1）=-lga，
∴α+β=0 2α+4β=1
∴α= 1 2 β=- 1 2
∴f（n）=（
n2-1 2
n-1）lga．1 2
证明：（1）当n=1时，显然成立．
（2）假设n=k时成立，即f（k）=（
k2-1 2
k-1）lga，1 2
则n=k+1时，f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga=（
k2-1 2
k-1+k）lga=[1 2
（k+1）2-1 2
（k+1）-1]lga．1 2
∴当n=k+1时，等式成立．
综合（1）（2）可知，存在实数α、β且α=
，β=-1 2
，使f（n）=（αn2+βn-1）lga对任意n∈N*都成立．1 2
