问题
解答题
设函数f(x)=
（I）计算a2，a3，a4的值； （II）猜想数列{an}的通项公式，并用数字归纳法加以证明． |
答案
（I）由题意，得an+1=
，（1分）2an an+1
因为a1=
，1 2
所以a2=
，a3=2 3
，a4=4 5
．（3分）8 9
（II）由a1，a2，a3，a4，猜想an=
（5分）2n-1 2n-1+1
以下用数字归纳法证明：对任何的n∈N*，an=2n-1 2n-1+1
证明：①当n=1时，由已知，左边=
，右边=1 2
=1 1+1
，所以等式成立．（7分）1 2
②假设当n=k（k∈N*）时等式成立，即ak=
，（8分）2k-1 2k-1+1
则n=k+1时，ak+1=
=2ak ak+1
=2× 2k-1 2k-1+1
+12k-1 2k-1+1
=2k 2k-1+2k-1+1
=2k 2k+1
．2(k+1)-1 2(k+1)-1+1
所以当n=k+1时，猜想也成立．（12分）
根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．（13分）