问题
解答题
数列{an}满足a1=
（1）求S1，S2，S3并猜想Sn； （2）用数学归纳法证明（1）中猜想的正确性． |
答案
（1）当n≥2 时，Sn-Sn-1=an=
Sn，故Sn=1 n2
Sn-1．n2 n2-1
又S1=a1=
，故可得 S2=1 2
，S3=2 3
，猜想：Sn=3 4
(n∈N*)．n n+1
（2）①当n=1时，结论显然成立． ②假设当n=k（k∈N*）时，结论成立，即Sk=
．k k+1
当n=k+1时，Sk+1=
Sk=(k+1)2 (k+1)2-1
•(k+1)2 (k+1)2-1
=k k+1
=k+1 k+2
，k+1 (k+1)+1
故结论当n=k+1时也成立． 由①②知，结论对一切的n∈N*成立．