问题
解答题
设a,b,c为任意三角形三边长，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,试证：I2＜4S.
答案
证明略
证明 由I2=（a+b+c）2
=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
=a2+b2+c2+2S,
∵a,b,c为任意三角形三边长，
∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,
∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)
即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0
∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0
∴a2+b2+c2＜2S
∴a2+b2+c2+2S＜4S.
∴I2＜4S.