问题
解答题
(本题满分15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（n∈N*）.
（1）试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出an的表达式.
答案
（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）
∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=
Sn-1（n≥2）
∵a1=1，∴S1=a1=1.
∴S2=
，S3=
=
，S4=
， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
猜想Sn=
（n∈N*）. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分
（2）证明 ①当n=1时，S1=1成立.
②假设n=k（k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=
，
当n=k+1时，
Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，
∴ak+1=
，
∴Sk+1=（k+1）2·ak+1=
=
，
∴n=k+1时等式也成立，得证.
∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
又∵ak+1=
，∴an=
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分