①（1）∵a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)，

∴a2=

1

1+2×1

=

1

3

，

a3=

1 3

1+2× 1 3

=

1

5

，

a4=

1 5

1+2× 1 5

=

1

7

．

∴猜想数列{a_n}的通项公式a_n=

1

2n-1

．

（2）用数学归纳法证明a_n=

1

2n-1

．

当n=1时，a1=

1

2×1-1

=

1

2

，成立．

假设当n=k时，a_n=

1

2n-1

成立，即ak=

1

2k-1

．

则当n=k+1时，a_k+1=

ak

1+2ak

=

1 2k-1

1+2× 1 2k-1

=

1

2k-1+2

=

1

2k+1

=

1

2(k+1)-1

，也成立．

故a_n=

1

2n-1

．

②证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，

在等式1•2²+2•3²++n（n+1）²

=

n(n+1)

12

（an²+bn+c）中，

令n=1，得4=

1

6

（a+b+c）①

令n=2，得22=

1

2

（4a+2b+c）②

令n=3，得70=9a+3b+c③

由①②③解得a=3，b=11，c=10，

于是，对于n=1，2，3都有

1•2²+2•3²++n（n+1）²=

n(n+1)

12

（3n²+11n+10）（*）成立．

下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．

（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．

（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，

即1•2²+2•3²++k（k+1）²

=

k(k+1)

12

•（3k²+11k+10），

那么当n=k+1时，

1•2²+2•3²++k（k+1）²+（k+1）（k+2）²

=

k(k+1)

12

（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²

=

(k+1)(k+2)

12

（3k²+5k+12k+24）

=

(k+1)(k+2)

12

[3（k+1）²+11（k+1）+10]，

由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．

综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．