问题
问答题
设α1，α2，…，αn是n个维列向量，已知齐次线性方程组
α1x1+α2x2+…+αnxn=0 (*)
只有零解，问齐次线性方程组
(α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0(**)
是否有非零解若没有，说明理由；若有，求出方程组(**)的通解．
答案
参考答案：齐次线性方程组
α1x1+α2x2+…+αnxn=0 (1)
只有零解，故其系数矩阵(记为A)的秩r(A)=rα1，α2，…，αn=n．
矩阵A是可逆方阵，齐次线性方程组
(α1+α2l+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0 (2)
的系数矩阵(记为B)和A有如下关系：
当n=2k+1时，|C|=2≠0，故r(B)+r(c)=n，方程组(2)只有零解．
当n=2k时，|C|=0，故r(B)=r(c)＜n，方程组(2)有非零解．
当n=2k时，B=AC，A可逆；故BX=0和CX=0是同解的方程组，故只需求解线性齐次方程组CX=0即可：对C作初等行变换，i行的-1倍加到i+1行，i=1，2，…，n-1．
知r(B)=r(C)=2k-1，BX=0有一个非零向量ξ组成基础解系，且ξ=1，-1，1，…，1，-1T，故方程组(2)的通解为cξ=1，-1，1，…，1，-1T，其中c是任意常数．
或由C知，C中有n-1阶子式Cn-1，n-1≠0，故r(B)=r(C)=2k-1，BX=0有通解kξ，
由观察，因α1+α2-(α2+α3)+…-(α2k+α1)=0，
通解为k(1，-1，1，-1，…，-1)，其中k是任意常数．