问题
解答题
对于命题P：存在一个常数M，使得不等式
（1）试猜想常数M的值，并予以证明； （2）类比命题P，某同学猜想了正确命题Q：存在一个常数M，使得不等式
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答案
（1）令a=b，得
≤M≤2 3
，故M=2 3
． 先证明2 3
+a 2a+b
≤b 2b+a
：2 3
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），
即证a2+b2≥2ab，即证（a-b）2≥0，这显然成立．∴
+a 2a+b
≤b 2b+a
．2 3
再证明
≤2 3
+a a+2b
：b b+2a
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），
即证a2+b2≥2ab，即证（a-b）2≥0，这显然成立．∴
≤2 3
+a a+2b
．b b+2a
（2）存在一个常数M，使得不等式
+a 4a+b
+b 4b+c
+c 4c+d
≤M≤d 4d+a
+a a+4b
+b b+4c
+c c+4d d d+4a
对任意正数a，b，c，d恒成立．