在圆x2+y2=r2（r＞0）中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点，则有

问题解答题

在圆x²+y²=r²（r＞0）中，AB为直径，C为圆上异于A，B的任意一点，则有k_AC•k_BC=-1．你能用类比的方法得出椭圆

=1（a＞b＞0）中有什么样的结论？并加以证明．

答案

类比得到的结论是：在椭圆

=1(a＞b＞0)中，A，B分别是椭圆长轴的左右端点，C（x，y）点是椭圆上不同于A，B的任意一点，由kAC•kBC=-

证明：设A（x₀，y₀）为椭圆上的任意一点，则A关于中心的对称点B的坐标为B（-x₀，-y₀），点P（x，y）为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则kAP•kBP=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

y2-

x2-

．

由于A，B，P三点在椭圆上，∴

=1.

两式相减，有

x2-

y2-

=0，

∴

y2-

x2-

，即kAP•kBP=-

．

故椭圆

=1(a＞b＞0)中过中心的一条弦的两个端点A，B，P为异于A，B的椭圆上的任意一点，则有kAP•kBP=-

．