问题
解答题
阅读下面一段文字：已知数列{an}的首项a1=1，如果当n≥2时，an-an-1=2，则易知通项an=2n-1，前n项的和Sn=n2．将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列{an}的首项a1=1，如果当n≥2时，an-an-1＞2，那么an＞2n-1，且Sn＞n2．这种从“等”到“不等”的类比很有趣．由此还可以思考：要证Sn＞n2，可以先证an＞2n-1，而要证an＞2n-1，只需证an-an-1＞2（n≥2）．结合以上思想方法，完成下题：
已知函数f（x）=x3+1，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an），若数列{an}的前n项的和为Sn，求证：Sn≥2n-1．
答案
∵a1=1，an+1=an3+1，an≥1．…4′
∴有：an+1=an3+1≥an2+1≥2an，
∴
≥2．…8′an+1 an
∴an=
•an an-1
•…•an-1 an-2
•a3 a2
•a1≥2n-1，a2 a1
即an≥2n-1．…11′
故Sn=a1+a2+…+an≥1+2+22+…+2n-1=
=2n-1．1-2n 1-2
∴Sn≥2n-1成立．…14′