在计算“1×2+2×3+…n（n+1）”时，先改写第k项：k（k+1）=13[k

问题解答题

在计算“1×2+2×3+…n（n+1）”时，先改写第k项：
k（k+1）=

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=

（1×2×3-0×1×2），2×3=

（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=

n(n+1)(n+2)
（1）类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的结果；
（2）试用数学归纳法证明你得到的等式．

答案

（1）∵n（n+1）（n+2）=

[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]

∴1×2×3=

（1×2×3×4-0×1×2×3）

2×3×4=

（2×3×4×5-1×2×3×4）

…

n（n+1）（n+2）=

[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]

∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

[（1×2×3×4-0×1×2×3）+（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+n×（n+1）×（n+2）×（n+3）-（n-1）×n×（n+1）×（n+2）=

n（n+1）（n+2）（n+3）

（2）利用数学归纳法证：1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

n（n+1）（n+2）（n+3）

①当n=1时，左边=1×2×3，右边=

×1×2×3×4=1×2×3，左边=右边，等式成立．

②设当n=k（k∈N^*）时，等式成立，

即1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）=

k(k+1)(k+2)(k+3)

．

则当n=k+1时，

左边=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）

k(k+1)(k+2)(k+3)

+（k+1）（k+2）（k+3）

=（k+1）（k+2）（k+3）（

+1）

(k+1)(k+2)(k+3)(K+4)

(k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)

．

∴n=k+1时，等式成立．

由①、②可知，原等式对于任意n∈N^*成立．