问题 填空题
已知点M是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的一点,过M作斜率分别为k1,k2的直线,交椭圆于A,B两点,且A,B关于原点对称,则k1k2=-
b2
a2
.类比椭圆的这个性质,设M是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上的一点,过M作斜率分别为k1,k2的直线,交双曲线于A,B两点,且A,B关于原点对称,则k1•k2=______.
答案

设点M半短轴上的顶点,则M作斜率分别为k1,k2的直线,交椭圆于A,B两点,且A,B关于原点对称,

设A和B两点坐标为(a,0),(-a,0),即k1=

b
a
,k2=-
b
a
k1k2=-
b2
a2

类比椭圆性质类推双曲线的性质,

设点M实轴上顶点(a,0),则M作斜率分别为k1,k2的直线,交椭圆于A,B两点,且A,B关于原点对称,

设A和B两点坐标为为(x,y),(-x,-y),

即k1=x+a,k2=

y
x-a
,k1•k2=
y
x+a
y
x-a
=
y2
x2-a2

结合

x2
a2
-
y2
b2
=1化简可得k1•k2=
b2
a2

故答案为

b2
a2

单项选择题
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