（1）第n组有n个从小到大连续的正整数，且第1个数是[1+2+3+…+（n-1）]+2=

n(n-1)

2

+2，

故S_n=n[

n(n-1)

2

+2]+

n(n-1)

2

=

n(n2+3)

2

+2（n∈N^*）．

S₁=2，S₃=18，S₅=70，T₁=S₁=2，

T₂=S₁+S₃=2+18=20，

T₃=S₁+S₃+S₅=2+18+70=90．…（6分）

（2）由（1）知T₁=2=1×2=1²×（1²+1），

T₂=20=4×5=2²×（2²+1），

T₃=90=9×10=3²×（3²+1）

猜想：T_n=n²（n²+1），（n∈N^*）．      …（10分）

证明：（ⅰ）当n=1时，已知成立．

（ⅱ）假设n=k（k∈N^*）时，猜测成立，即T_k=k²（k²+1）．则n=k+1时，

T_k+1=T_k+S_2k+1=k²（k²+1）+

(2k+1)[(2k+1)2+3]

2

，

因为（k+1）²[（k+1）²+1]-k²（k²+1）-

(2k+1)[(2k+1)2+3]

2

=[（k+1）⁴-k⁴]+[（k+1）²-k²]-

(2k+1)(4k2+4k+4]

2

=[（k+1）²+k²][（k+1）²-k²]+（2k+1）-（2k+1）（2k²+2k+2）

=（2k+1）（2k²+2k+2）-（2k+1）（2k²+2k+2）

=0，

所以k²（k²+1）+

(2k+1)[(2k+1)2+3]

2

=（k+1）²[（k+1）²+1]，即n=k+1时，猜测成立．

根据（ⅰ）（ⅱ），T_n=n²（n²+1）（n∈N^*）成立． …（16分）