问题 选择题

平面上有n个圆,其中每两个圆之间都相交于两个点,每三个圆都无公共点,它们将平面分成f(n)块区域,则f(n)的表达式是(  )

A.2n

B.2n-(n-1)(n-2)(n-3)

C.n3-5n2+10n-4

D.n2-n+2

答案

∵一个圆将平面分为2份

两个圆相交将平面分为4=2+2份,

三个圆相交将平面分为8=2+2+4份,

四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份,

平面内n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且任意三个圆不相交于同一点,

则该n个圆分平面区域数f(n)=2+(n-1)n=n2-n+2

证明:(1)当n=1时,一个圆把平面分成两个区域,而12-1+2=2,命题成立.

(2)假设n=k(k≥1)时,命题成立,即k个圆把平面分成k2-k+2个区域.

当n=k+1时,第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点,这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧,

而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分,因此增加了2k个区域,

共有k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域.

∴n=k+1时,命题也成立.

由(1)、(2)知,对任意的n∈N*,命题都成立.

故选D.

单项选择题
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