问题 填空题
方程组
6x-y-z=20
x2+y2+z2=1979
的所有正整数解是______.
答案

6x-y-z=20
x2+y2+z2=1979
y+z=6x-20
y2+z2=1979-x2

∵(y-z)2≥0⇒2yz≤y2+z2⇒2yz+y2+z2=2(y2+z2)⇒(y+z)2≤2(y2+z2

∴(y+z)2=(6x-20)2≤2(y2+z2)=2(1979-x2

于是(6x-20)2≤2(1979-x2)≤2×1978<632

注解到不等式(y+z)2≤2(y2+z2)有(y+z)2=(6x-20)2≤2(y2+z2)=2(1979-x2),

于是(6x-20)2≤2(1979-x2)≤2×1978<632,即-63<6x-20<63

又∵y+z=6x-20是正整数

∴0<6x-20<63,即

20
4
<x<
83
6
,从而4≤x≤13.

再由y+z为偶数,从而y2+z2为偶数,x2为奇数,进而x为奇数.

∴x=5,7,9,11,13

①当x=5时,

y+z=10
y2+z2=1854
,显然y、z正整数解不存在.

②当x=7时,

y+z=22
y2+z2=1830
,显然y、z正整数解不存在.

③当x=9时,

y+z=34
y2+z2=1898
,显然y、z正整数解不存在.

④当x=11时,解得

x1=11
y1=3
z1=43
x2=11
y2=43
z2=3

⑤当x=13时,解得

x3=13
y3=21
z3=37
x4=13
y4=37
z4=21

故答案为

x1=11
y1=3
z1=43
x2=11
y2=43
z2=3
x3=13
y3=21
z3=37
x4=13
y4=37
z4=21

选择题
单项选择题