方程组
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∵
⇒6x-y-z=20 x2+y2+z2=1979 y+z=6x-20 y2+z2=1979-x2
∵(y-z)2≥0⇒2yz≤y2+z2⇒2yz+y2+z2=2(y2+z2)⇒(y+z)2≤2(y2+z2)
∴(y+z)2=(6x-20)2≤2(y2+z2)=2(1979-x2)
于是(6x-20)2≤2(1979-x2)≤2×1978<632
注解到不等式(y+z)2≤2(y2+z2)有(y+z)2=(6x-20)2≤2(y2+z2)=2(1979-x2),
于是(6x-20)2≤2(1979-x2)≤2×1978<632,即-63<6x-20<63
又∵y+z=6x-20是正整数
∴0<6x-20<63,即
<x<20 4
,从而4≤x≤13.83 6
再由y+z为偶数,从而y2+z2为偶数,x2为奇数,进而x为奇数.
∴x=5,7,9,11,13
①当x=5时,
,显然y、z正整数解不存在.y+z=10 y2+z2=1854
②当x=7时,
,显然y、z正整数解不存在.y+z=22 y2+z2=1830
③当x=9时,
,显然y、z正整数解不存在.y+z=34 y2+z2=1898
④当x=11时,解得
或x1=11 y1=3 z1=43
;x2=11 y2=43 z2=3
⑤当x=13时,解得
或x3=13 y3=21 z3=37
.x4=13 y4=37 z4=21
故答案为x1=11 y1=3 z1=43 x2=11 y2=43 z2=3 x3=13 y3=21 z3=37 x4=13 y4=37 z4=21