方法1：x²+y²=208（x-y）

x²-208x+104²+y²+208y+104²=2×104²

（x-104）²+（y+104）²=2×104²

这是一个以（104，-104）为圆心，104

2

为半径的圆，可用参数方程表示为：

x-104

104 2

=sinθ，

y+104

104 2

=cosθ

x=104

2

sinθ+104=104（

2

sinθ+1），y=104

2

cosθ-104=104（

2

cosθ-1）

x、y都是正整数，那么104（sinθ+1）和104（cosθ-1）同时为正整数

sinθ＞-

2

2

，cosθ＞

2

2

，且sinθ和cosθ值的分母是104的约数，分子是

2

的整数倍

（1）分母为2：（

2

2

A）²+（

2

2

B）²=1

A²+B²=2

A=±1，B=±1，（舍去）

（2）分母为4：（

2

4

A）²+（

2

4

B）²=1

A²+B²=8

A=±2，B=±2，（舍去）

（3）分母为8：（

2

8

A）²+（

2

8

B）²=1

A²+B²=32

A=±4，B=±4，（舍去）

（4）分母为13：（

2

13

A）²+（

2

13

B）²=1

A²+B²=

169

2

，（舍去）

（5）分母为26：（

2

26

A）²+（

2

26

B）²=1

A²+B²=338

A=±7，B=±17，或者A=±17，B=±7，（舍去）

所以x=160，y=32或者x=48，y=32符合

（6）分母为52：（

2

52

A）²+（

2

52

B）²=1

A²+B²=1352

A=±14，B=±34，或者A=±26，B=±26，（舍去）

或者A=±34，B=±14，（舍去）

所以x=160，y=32或者x=48，y=32符合．

方法2：x²+y²=208（x-y）

x²-208x+104²+y²+208y+104²=2×104²

（x-104）²+（y+104）²=2×104²

∵2×104²是偶数，（x-104），（y+104）有相同的奇偶性

∴x，y具有相同的奇偶性

∵x²+y²=208（x-y）

∴x，y均为偶数

令x=2a，y=2b，则（a-52）²+（b+52）²=2×52²，a²+b²=104（a-b）

同理，令a=2c，b=2d，则（c-26）²+（d+26）²=2×26²，c²+d²=52（c-d）

令c=2s，d=2t，则（s-13）²+（t+13）²=2×13²，（s，t为正整数）

可得正整数解只有（s-13）²=7²，（t+13）²=17²

即s=20或6，t=4

故x=8s=160或48，y=8t=32